Δήλιον πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου...

Το πρόβλημα αυτό απασχόλησε τους μαθηματικούς μέχρι και τον 19ο αιώνα και τελικά κατατάχθηκε στα άλυτα προβλήματα μαζί με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και το πρόβλημα της τριχοτομήσεως της γωνίας.

Οι λύσεις πού δόθηκαν στο πρόβλημα, κατά την Ελληνική αρχαιότητα, σώθηκαν και έφθασαν σε μας από τον σχολιαστή των έργων του Ἀρχιμήδους Ευτόκιο (6 αι. μ.χ).

Αυτός σχολιάζοντας ἀνάλογο πρόβλημα τοῦ Ἀρχιμήδη καί τήν μέθοδο πού αὐτός χρησιμοποίησε γιά νά τό λύσει, δίνει ὅλες τίς λύσεις παρεμβολής πού τοῦ ἦταν τότε γνωστές ἀπό παλαιότερες συγγραφές. Οἵ λύσεις πού δίνει εἶναι 12 καί ἡ ἀρχαιότερη εῖναι τοῦ Ἀρχύτα. Οἱ κυριότερες ἀπό τίς γνωστές λύσεις εἶναι τοῦ:

· Ἱπποκράτους τοῦ Χίου (470-400 π.Χ.)

· Ἀρχύτα τοῦ Ταραντίνου (428-365 π.Χ.)

· Πλάτωνος (427-347 π.Χ.)

· Μέναιχμου (375- π.Χ.)

· Ἀρχιμήδους (287-212 π.Χ.)

· Ἐρατοσθένους (276-194 π.Χ.)

· Ἀπολλωνίου (265-170 π.Χ.)

· Νικομήδους (περίπου 200 π.Χ.)

· Ἥρωνος τοῦ Αλεξανδρινοῦ (μεταξύ 1ου καί 2ου αἰ. μ.Χ.)

· Διοκλέους (1ος αἰ. π.Χ.)

· Πάππου τοῦ Αλεξανδρινοῦ (3ος αί. μ.Χ.)

Κατά μία ἐκδοχή ο Βασιλιάς τῆς Κρήτης Μίνως εἶχε διατάξει νά κατασκευασθεῖ γιά τόν ὑιόν του Γλαῦκο, τάφος κυβικῆς μορφῆς, ὅταν ὅμως τόν εἶδε νά κατασκευάζεται, ἔκρινε ὁτι ἦταν πολύ μικρός γιά ἕναν βασιλέα καί διέταξε νά διπλασιαστεῖ διατηρώντας τό κυβικό του σχῆμα.

Κατά ἄλλη ἐκδοχή χρησμός ἀπό τό μαντεῖο τοῦ Δηλίου Ἀπόλλωνος ἐπέβαλε στούς Δηλίους νά διπλασιάσουν τόν κυβικό βωμό τοῦ Ἀπόλλωνος, γιά νά ἀπαλλαγοῦν ἀπό τόν λοιμό πού μάστιζε τό νησί τῆς Δήλου.

Παράδειγμα:

1. Ἔστω ὅ,τι ἔχουμε ἕναν κύβο μέ ἀκμή α = 5 μέτρα.

2. Ὁ ὄγκος αὐτού τοῦ κύβου θά εἶναι α3 = 5 Χ 5 Χ 5 = 125 κυβικά μέτρα.

3. Θέλουμε τώρα νά κατασκευάσουμε ἕναν κύβο μέ διπλάσιο ὄγκο, δηλαδή 2 Χ (α3) = 250 κυβικά μέτρα.

4. Αὐτό ἀπό καθαρά μαθηματική ἄποψη εἶναι ἀδύνατο, διότι ἡ ἀκμή τοῦ διπλασίου κύβου, δηλαδή ἡ κυβική ρίζα τοῦ 250 εἶναι ἕνας ἀριθμός μέ ἄπειρα δεκαδικά ψηφία.

5. Στήν προκειμένη περίπτωση ἡ κυβική ρίζα εῖναι περίπου ὁ ἀριθμός 6,299605249 πού μᾶς δίνει ἕνα κύβο μέ τόν ζητούμενο ὄγκο κατά προσέγγιση δισεκατομμυριοστοῦ.

6. Πρακτικά βέβαια ἡ διαφορά αὐτή ἔχει μηδαμινή σημασία, ἀλλά μαθηματικά εῖναι αδύνατη ἡ ἐπίλυση τοῦ προβλήματος μέ τόν κανόνα καί τόν διαβήτη καί ἐπομένως καί ἡ κατασκευή τοῦ κύβου.

Η λύση τοῦ Ἐρατοσθένους (276 – 194 π.Χ.)

γιά τό ΔΗΛΙΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Ἡ λύση αύτή ὑλοποιεῖται μέ τήν κατασκευή ὀργάνου πού ὀνομάζεται «μεσολάβιον» καί τό οποῖο ἐπιτυγχάνει τήν κατασκευή τῶν ἐνδιαμέσων χ και ψ, ὅπως προέβλεπε ἡ ἀνάλυσις τοῦ Ἱπποκράτους τοῦ Χίου.

Ὅπως ἀναφέρει ὅ Ευτόκιος, τήν λύση αὐτή ὑπέβαλε ὁ Ἐρατοσθένης στόν Πτολεμαῖο, σέ μία ἐπιστολή στήν ὁποῖα ἀναφέρεται τό ἱστορικό τοῦ προβλήματος καί ἑνός ὑποδείγματος τοῦ μεσολάβου, ἐνῶ ἄλλο λίθινο ὁμοίωμά

του ἀφιέρωσε στόν ναό τοῦ Φαραώ Πτολεμαίου.

Ὁ μεσολάβος ἀποτελείται ἀπό ἕνα ὀρθογώνιο πλαίσιο τοῦ ὀποίου ἡ ἄνω καί ἡ κάτω πλευρά ἔχουν αυλάκια ἐντός τῶν ὁποίων δύνανται νά κινοῦνται τρία ίσα ορθογώνια τρίγωνα.

Μέ διαδοχικές μετακινήσεις τῶν κινητῶν τριγώνων βρίσκουμε τά ἐνδιάμεσα σημεῖα Β καί Γ καθιστώντας τα συνευθειακά με τα Δ και Α, λαμβάνοντας ὡς ἀρχή το τμῆμα α καί μέ τό Θεώρημα τοῦ Θαλῆ προσδιορίζουμε τό τμῆμα χ ἀπό τήν γνωστή ἀνάλυση τοῦ προβλήματος ἀπό τόν Ἱπποκράτη τόν Χίο.

Ἀπόδειξις

Προεκτείνωμεν τήν ΑΔ μέχρις ὅτου αὔτη συνάντηση τήν προέκτασιν τῆς ΕΘ εἰς τι σημείον Κ. Ἔνεκα τῶν παραλλήλων ΒΖ, ΓΗ λαμβάνομεν:

ΑΚ : ΚΒ = ΕΚ : ΚΖ

Ἕνεκα τῶν παραλλήλων ΑΖ, ΒΗ λαμβάνομεν: ΑΚ:ΚΒ = ΖΚ:ΚΗ

Ἄρα προκύπτει: ΑΚ:ΚΒ = ΕΚ:ΚΖ = ΖΚ:ΚΗ (1)

Ένεκα τον παραλλήλων ΒΖ, ΓΗ λαμβόνομεν: ΒΚ:ΚΓ = ΖΚ:ΚΗ

Ένεκα των παραλλήλων ΒΗ, ΓΘ λαμθάνομεν: ΒΚ:ΚΓ = ΗΚ:ΚΘ

Συνεπῶς: ΒΚ : ΚΓ = ΖΚ:ΚΗ = ΗΚ:ΚΘ (2)

Ἐκ τῆς (1) προκύπτει: ΕΚ:ΚΖ = ΖΚ:ΚΗ καί

ἐκ τῆς (2) λαμβάνωμεν: ΖΚ:ΚΗ = ΗΚ: ΚΘ

Ἀπό τίς δύο ανωτέρω προκύπτει: ΕΚ:ΚΖ = ΖΚ: ΚΗ - ΗΚ:ΚΘ. (3)

Ἐπειδή ΕΚ:ΚΖ = ΑΕ:ΒΖ καί ΖΚ:ΚΗ = ΒΖ:ΓΗ - ΗΚ:ΚΘ = ΓΗ:ΔΘ.

Δι’ ἀντικαταστάσεως εἰς τήν (1) λαμβάνωμεν:

ΑΒ:ΒΖ = ΒΖ : ΓΗ = ΓΗ: ΔΘ

Ἤτοι αἱ ζητούμεναι δύο μέσαι ἀνάλογοι εἶναι αἱ ΒΖ, ΓΗ.

Εάν καλέσωμεν:

ΑΕ = β = 2α, ΒΖ = y, ΓΗ= x, Δθ = α, ἔχομεν την ζητούμενην σχέσιν x = (2)1/3, κατά την αναγωγήν του Ιπποκράτους του Χίου.

Ἐλπίζω τά μαθηματικά νά μήν σᾶς κούρασαν, πλέον τοῦ δέοντος, πλήν ὅμως κρίθηκαν ἀπαραίτητα γιά τήν πληρότητα τοῦ κειμένου.

Τελικῶς, γιά τήν ἱστορία, αναφέρουμε ὅ,τι ἡ φράσις «Δήλιον Πρόβλημα» κατέστη συνώνυμον τοῦ ἀλύτου (δυσεπιλύτου κατ’ ἄλλους) προβλήματος.

Κατά τήν προσωπική μου ἄποψιν, ἔχουμε ἕνα ἐπιπλέον τεκμήριο γιά τήν καταγωγή τῆς ἀναλυτικῆς γεωμετρίας.

Ἀεί ὁ Θεός Γεωμετρεῖ

Πηγές:

1. Ἐθνικό καί Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Ἀθηνων - Σχολή Θετικῶν Ἐπιστημῶν - Τμήμα Μαθηματικῶν: Διπλωματική ἐργασία τοῦ κυρίου Χρυσανθακόπουλου.

2. http://epistito.blogspot.com/2007/11/mesolavos-can-double-cube-by.html

3. http://www.freesymbolforum.com/index.php?topic=928.0

http://www.freewebtown.com/gr_math/mathimatikoi/eratosthenes_of_cyrene/eratosthenis_stamati.pdf