Τα 4 παράδοξα του Ζήνωνος

Γιος του Τελευταγόρα και ο αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη. Ο Ζήνων γεννήθηκε γύρω στο 488 π.Χ στην Ελέα (σημερινή Velia) της Ιταλίας. Έζησε μερικά χρόνια στην Αθήνα και λέγεται ότι ανέλυε και εξηγούσε τις θεωρίες και τα δόγματά του στον Περικλή και τον Καλλία για 100 μνες. Λέγεται ότι βοήθησε τον Παρμενίδη να γράψει τους Νόμους της Ελέας στους οποίους οι Ελεάτες ορκίζονταν πίστη κάθε χρόνο.

Υπέρμαχος της ελευθερίας δεν δίστασε να ρισκάρει τη ζωή του για να γλυτώσει την πατρίδα του από έναν τύραννο. Το αν πέθανε στην προσπάθεια ή αν επιβίωσε της πτώσης του τυράννου είναι ένα σημείο στο οποίο οι ειδήμονες διαφωνούν. Ακόμα και το όνομα του τυράννου είναι σημείο διαφωνίας.

Ο Ζήνων αφιέρωσε όλη την ενέργειά του για να επεξηγήσει και να εξελίξει το φιλοσοφικό σύστημα του Παρμενίδη. Ο Πλάτωνας αναφέρει πως ο Ζήνων ήταν 25 χρόνια νεότερος του Παρμενίδη, και έγραψε την υπεράσπιση του φιλοσοφικού του συστήματος σε πολύ νεαρή ηλικία. Αν και έχουν σωθεί ελάχιστα από τα γραπτά του, τα περισσότερα που γνωρίζουμε για αυτόν προέρχονται από τον Αριστοτέλη στα Φυσικά

1ο Παράδοξο: Περί των εν σταδίω κινουμένων αντιθέτως ίσων όγκων έμπροσθεν ίσου σταθερού.

Έστω ότι σε ένα στάδιο (γήπεδο) βρίσκονται τρεις ομάδες σωμάτων, παρατεταγμένες σε τρεις σειρές, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα, εκ των οποίων η ομάδα Α Α Α Α παραμένει ακίνητη.

Α Α Α Α

Β Β Β Β

Γ Γ Γ Γ

Τα σώματα των ομάδων Β και Γ κινούνται προς την κατεύθυνση που δείχνουν οι αντίστοιχες διακεκομμένες γραμμές, δηλαδή κατά την αντίθετη φορά. Αν τώρα αρχίσουν να κινούνται συγχρόνως και με την ίδια ταχύτητα, θα φθάσουν συγχρόνως στα τέρματα τους, δηλαδή το πράσινο Β κάτω από το πράσινο Α και το τελευταίο κόκκινο Γ κάτω από το κόκκινο Α.

Αν τώρα θελήσουμε να μετρήσουμε σχηματικά τον διανυθέντα δρόμο των δύο κινουμένων σωμάτων ή την χρονική διάρκεια της κινήσεως των ( που στην περίπτωση αυτή είναι το ίδιο πράγμα ), θα χαρακτηρίζαμε τα μεγέθη αυτά με δύο Α, δηλαδή ( Α Α ), διότι πράγματι το κάθε κινούμενο σώμα πέρασε μπροστά από δύο ακίνητα σώματα Α.

Με τον ίδιο όμως τρόπο σκέψης θα μπορούσε κανείς να μετρήσει την ίδια χρονική διάρκεια της κινήσεως τους όχι μόνο δια της ακινήτου σειράς των σωμάτων ΑΑΑΑ αλλά και διά των κατ’ αντίθετη κατεύθυνση, με την ίδια όμως ταχύτητα, κινουμένων σωμάτων, που σχηματικά μπορεί να αποδοθεί με τέσσερα Β ή τέσσερα Γ, δηλαδή ως ΒΒΒΒ ή ως ΓΓΓΓ, διότι το καθένα από τα επί μέρους κινούμενα σώματα της ομάδας Β διέρχεται μπροστά από τέσσερα σώματα της ομάδας Γ, όπως ακριβώς κάθε σώμα της ομάδας Γ διέρχεται μπροστά από τέσσερα σώματα της ομάδας Β.

Πού βρίσκεται όμως η παραδοξότητα του «πειράματος» αυτού;

Βρίσκεται στο συμπέρασμα του, κατά το οποίο το ίδιο χρονικό διάστημα μπορεί να μετρηθεί και με δύο Α, δηλαδή ως (ΑΑ) και με τέσσερα Β ή τέσσερα Γ, δηλαδή ως (ΒΒΒΒ) ή (ΓΓΓΓ). Βλέπουμε δηλαδή την ισότητα (ΑΑ) = (ΒΒ) και «παραδόξως» βλέπουμε να ισχύει και η «ισότητα» (ΒΒ) = (ΒΒΒΒ), πράγμα που σημαίνει ότι «το ήμισυ χρονικό διάστημα είναι ίσο με το διπλάσιο του» !!!!

Ο Αριστοτέλης στο έργο του «Περί Φυσικής ακροάσεως» αναφέρει μια πρόταση που αποδίδεται στον Ζήνωνα τον Ελεάτη ( να μην τον μπερδεύουμε με τον συνώνυμο του τον Κιτιέα που ήταν, θα λέγαμε σήμερα, φιλόλογος) και η οποία έχει ως εξής: «….οίεται ίσον είναι χρόνον τω διπλασίω τον ήμισυν ». Για να είμαστε δίκαιοι, ο Αριστοτέλης προσπάθησε να αντικρούσει τον Ζήνωνα και ένας μαθητής του, ο Εύδημος τον κατηγόρησε για «θρασεία παραπλάνηση», δυστυχώς όμως στην περίπτωση αυτή εκείνοι που παραπλανούν είναι ο Αριστοτέλης και ο μαθητής του.

2ο Παράδοξο: Διχοτομία

Για να φθάσει κάποιο κινούμενο σώμα από την αφετηρία μιας αποστάσεως στο τέρμα της, πρέπει προηγουμένως να διανύσει το ήμισυ της αποστάσεως αυτής. Για να το κάνει όμως αυτό, θα πρέπει πρώτα να διανύσει αναγκαστικά το ήμισυ της προηγούμενης ημίσειας αποστάσεως και πριν από αυτό, να διανύσει το ήμισυ της ημίσειας της ημίσειας αποστάσεως και πάει λέγοντας επ’ άπειρον, δηλαδή το κινούμενο αυτό σώμα δεν θα φθάσει ποτέ στο τέρμα της αποστάσεως.

Το παράδοξο αυτό μπορούμε να το διατυπώσουμε και αντίστροφα, δηλαδή αν υποθέσουμε ότι θέλουμε να διανύσουμε μια απόσταση διανύοντας πρώτα το ήμισυ αυτής και μετά το ήμισυ της εναπομένουσας ημίσειας και στη συνέχεια να διανύουμε κάθε φορά το ήμισυ κάθε εναπομένουσας απόστασης πάλι δεν θα φθάσουμε ποτέ στο τέρμα δηλαδή η κίνηση θα συνεχίζεται επ’ άπειρον.

3ο Παράδοξο : Αχιλλεύς και χελώνη

Στην αφετηρία μιας ευθείας γραμμής βρίσκεται ο ταχύπους Αχιλλεύς και επί της αυτής ευθείας αλλά κατά ένα στάδιο μπροστά βρίσκεται μια χελώνα. Έστω ότι αναχωρούν συγχρόνως και οι δύο (Αχιλλεύς - χελώνα), κινούμενοι πάντοτε επί της αυτής ευθείας. Ας υποθέσουμε τώρα ότι η ταχύτητα του Αχιλλέα είναι 12πλάσια της ταχύτητας της χελώνας. Όταν ο Αχιλλέας θα φθάσει, υποτίθεται, στο σημείο που βρισκόταν η χελώνα κατά τη στιγμή της εκκίνησης, τότε η χελώνα θα προηγείται του Αχιλλέα κατά 1/12 της απόστασης που διήνυσε (1/12 του σταδίου).

Όταν ο Αχιλλέας διανύσει αυτό το 1/12 που είχε διανύσει ήδη η χελώνα , τότε αυτή θα προηγείται πάλι του Αχιλλέα κατά 1/12 του 1/12 του σταδίου. Όταν ο Αχιλλέας διανύσει και αυτή την απόσταση (το 1/12 του 1/12 του σταδίου) πάλι θα προηγείται η χελώνα κατά 1/12 του 1/12 του 1/12 του σταδίου κ.ο.κ. με το παράδοξο αποτέλεσμα ο Αχιλλέας να μην μπορέσει να φθάσει ποτέ τη χελώνα .

4ο Παράδοξο: Οϊστός (Βέλος)

Βέλος εκτοξευόμενο δεν κινείται διότι αν ο χώρος και ο χρόνος είναι μεγέθη , τότε πέφτουμε στο σφάλμα της αντίφασης, δεχόμενοι ταυτοχρόνως ότι τα μεγέθη αυτά είναι και μεγάλα και μικρά. Όμως και αν ακόμη δεν κάνουμε καμμιά τέτοια υπόθεση, πάλι το βέλος δεν κινείται διότι δεν μπορούμε να ισχυρισθούμε ότι αυτό κινείται ούτε εντός του χώρου που υπάρχει ούτε εντός του χώρου που δεν υπάρχει.

Με άλλα λόγια, αν το βέλος κατέχει χώρο, δεν κινείται ακριβώς διότι κατέχει χώρο δηλαδή «κείται» εντός του χώρου και ως τέτοιο δηλαδή ως «κείμενον», δεν κινείται. Εάν πάλι δεν κατέχει χώρο, τότε αυτό είναι ανύπαρκτο και ως ανύπαρκτο δεν κινείται.

Παρεμπιπτόντως, μια και αναφερθήκαμε σε «παράδοξα», κρίνεται σκόπιμο να αναφερθεί ο ορισμός του παράδοξου, όπως διατυπώθηκε από το κορυφαίο Αμερικανό φυσικό Ρίτσαρντ Φέϋνμαν : Παράδοξο είναι η σύγκρουση της πραγματικότητας με την αντίληψη μας για το τι «οφείλει» να είναι η πραγματικότητα.